Was ist Numerische Mathematik?
Was ist Wissenschaftliches Rechnen?
Die Numerische Mathematik beschäftigt sich mit der Entwicklung numerischer Rechenverfahren, ihrer Analyse und ihrer Umsetzung in Rechenprogramme für digitale Rechenautomaten. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die Diskussion von Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen mathematischer Problemstellungen, sondern zielt auf die konkrete Berechnung der Lösungen. Näherungen für die (unbekannte) exakte Lösung werden dabei als gleichwertig akzeptiert, wenn deren Fehler durch Steigerung des technischen Aufwandes beliebig klein gemacht werden können. Zur Zeit befindet sich die Numerische Mathematik in einem tiefgreifenden Wandel. Die neuen Vektor- und Parallelrechner ermöglichen nämlich eine parallele Durchführung von Rechenoperationen, was einen entscheidenden Einfluß auf die Umsetzung eines numerischen Verfahrens in einen für einen speziellen Rechner adäquaten Algorithmus hat.
Neue leistungsfähige und ausgefeilte mathematische Methoden erlauben dabei, mathematische Aufgabenstellungen zu lösen, denen immer komplexere und realitätsnahe Modelle aus konkreten Anwendungen zugrundeliegen. Man ist heute in der Lage, ganze technische Abläufe durch numerische Simulation im Rechner vor der eigentlichen Fertigung zu verstehen und zu beherrschen. Die mathematische Vorausberechnung technischer Prozesse hat eine immense Bedeutung für zahlreiche Schlüsselbereiche der Wirtschaft. Beherrscht man die Simulation technischer Prozesse, möchte man diese dann naheliegender Weise auch gestalten. Steuerung und Optimierung technischer Prozesse folgen dann der Simulation.
An der Nahtstelle zwischen Mathematik, Informatik und Ingenieurwissenschaften hat sich dabei eine junge Disziplin entwickelt, das Wissenschaftliche Rechnen. Hier werden mit analytischen, insbesondere aber mit numerischen Methoden der Mathematik, schwierigste Probleme aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber mehr und mehr auch aus anderen Wissenschaftsgebieten gelöst. Ausgehend von der Erstellung eines mathematischen Modells zur möglichst genauen Beschreibung eines konkreten Anwendungsproblems, über die Analyse des mathematischen Problems und seine in aller Regel numerischen Lösung, gegebenenfalls unter Verwendung von modernen Höchstleistungsrechnern und mit Hilfe von zumeist neu zu entwickelnden oder auf die gegebene Problemstellung zugeschnittenen, angepaßten, numerischen Verfahren, spannt sich der Bogen bis hin zur Rückübersetzung der berechneten Ergebnisse in die Sprache des Anwenders, gegebenenfalls unter Verwendung moderner computergraphischer Methoden zur Visualisierung der Ergebnisse. Ziel ist es immer, teure, reale Experimente durch preisgünstigere Computerexperimente zumindest teilweise zu ersetzen. Oft können sogar virtuelle Experimente auf dem Rechner durchgeführt werden, die in der Realität so nicht durchführbar sind.
Dazu ein Zitat aus den "Perspektiven der Forschung und ihrer Förderung" der Deutschen Forschungsgemeinschaft: Die neuen Großrechenanlagen ermöglichen heute Vorstöße in Richtung auf die Entwicklung einer experimentellen Mathematik; Theorie-Entwicklung und praktische Erprobung gehen dabei eine Synthese ein. Man kann diese Art des Vorgehens, schwierige Probleme zu bewältigen, mit dem Begriff "Wissenschaftliches Rechnen" beschreiben. Die gewaltigen, numerisch zu lösenden Aufgaben aus den Bereichen der Strömungsmechanik, der Optimierung, der Optimalsteuerung und der Differentialspiele, um nur einige zu nennen, sind bei traditionellem Vorgehen so kompliziert, daß eine a-priori-Entwicklung von Lösungsalgorithmen aus einer geschlossenen Theorie heraus nur selten möglich ist.
Zum Begriff des Wissenschaftlichen Rechnens sehen Sie bitte auch den Aufsatz Wissenschaftliches Rechnen - eine interdisziplinäre Disziplin von Hans-Joachim Bungartz und Christoph Zenger ein, der in aviso, einer Zeitschrift für Wissenschaft und Kunst in Bayern, Ausgabe 1/98, erschienen ist.
Sehen Sie auch die Homepage der German Scientific Computing initiative (GSCi) ein.