Steuerung und Optimierung nichtlinearer Prozesse
in den Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften

Was ist Nichtlineare Dynamik?

Lineare Systeme weisen ein regelmäßiges Verhalten auf. Ihre Dynamik lässt sich auch über lange Zeiträume zuverlässig vorhergesagen. Dagegen weisen nichtlineare Systeme oft ein sehr komplexes Verhalten auf. Es können sogar abrupte, qualitative Änderung des Systemzustandes auftreten sowie sich spontan Strukturen in Raum und Zeit ausbilden, die als "Strukturbildungsprozesse" und "Selbstorganisation" aus vielen naturwissenschaftlichen Phänomenen bekannt sind. Die nichtlineare Kopplung der verschiedenen Freiheitsgrade des Systems kann bewirken, dass kleine Änderungen oder Unsicherheiten in einer Systemgröße zu praktisch unvorhersehbaren Abweichungen im zeitlichen Systemverhalten führen. Man spricht dann von chaotischer Dynamik. Eine Voraussage des Verhaltens eines nichtlinearen Systems kann schwierig und häufig nur für kurze Zeiten möglich sein, wenn nicht zusätzliche Bedingungen eine übergroße Zahl von Freiheitsgraden reduziert oder durch Steuerung das System stabilisiert werden kann.

Neue Gesichtspunkte in der Nichtlineare Dynamik:

Ziel der Nichtlinearen Dynamik in der Physik ist es, mit experimentellen und theoretischen Methoden allgemeine Gesetzmäßigkeiten für die raumzeitliche Dynamik in ausgedehnten Medien zu gewinnen und auf eine Vielzahl von Systemen anzuwenden. Die Einschränkung des Begriffs der Nichtlinearen Dynamik auf die Physik alleine würde jedoch die Forschungsaktivitäten in diesem Bayreuther Forschungsschwerpunkt zu sehr einschränken, da nichtlineare Effekte omnipräsent sind. Zudem gewinnt der Gesichtspunkt der Stabilisierung, Steuerung und Optimierung von komplexen nichtlinearen Systemen zunehmend an Bedeutung und ist keinesfalls nur auf physikalische Problemstellungen beschränkt, sondern hier haben mittlerweile andere Wissenschaftszweige unter Führung der Angewandten Mathematik wie Ingenieurwissenschaften und die anderen Naturwissenschaften, aber auch Wirtschaftswissenschaften und Lebenswissenschaften das Verständnis und die Bedeutung der Nichtlinearen Dynamik entscheidend erweitert.

Mathematische Modelle zur Beschreibung komplexer, realer, zeit- und/oder örtlich veränderlicher Prozesse sind in der Regel nichtlinear.

Wissenschaftliches Rechnen in der Nichtlinearen Dynamik:

Bei der Untersuchung nichtlinearer Systeme und Phänomene sind computerorientierte mathematische und informatische Methoden heute erfolgverprechender denn je. Seit etwa zwei Jahrzehnten hat sich an der Nahtstelle zwischen Mathematik, Informatik und Natur- und Ingenieurwissenschaften ein neues interdisziplinäres Fachgebiet entwickelt, das Wissenschaftliches Rechnen oder Scientific Computing genannt wird. Dieses Gebiet hat wesentlich zur Einschätzung der Angewandten Mathematik und Informatik als Querschnittswissenschaften und Schlüsseltechnologien beigetragen. Die Wirtschaftswoche stufte im Jahre 2003 die Angewandte Mathematik hinter der Medizintechnik als bedeutendste Zukunftstechnologie ein.

Generell versteht man unter Wissenschaftlichem Rechnen die Lösung komplexer, in der Regel nichtlinearer Anwendungsprobleme aus allen mathematisierbaren Wissenschaftszweigen durch mathematisch fundierte Computerprogramme. Dabei geht man im Allg. wie folgt schrittweise vor: Erstellung eines mathematischen Modells, seine mathematische Analyse und die Entwicklung eines Algorithmus zur Lösung des zugrundeliegenden mathematischen Problems, die effiziente Implementierung des Algorithmus auf Hoch- oder Höchstleistungsrechnern und schließlich die Visualisierung der numerischen Ergebnisse und deren Rückinterpretation in die Sprache des Anwenders. Immer ist das Ziel, teure, reale Experimente durch preisgünstigere Computerexperimente zu ersetzen. Oft können sogar virtuelle Experimente auf dem Rechner durchgeführt werden, die in der Realität so nicht durchgeführt werden können.

Nichtlineare Dynamik steht heute für die Beschreibung der realen Welt mit Hilfe mathematischer Modelle und deren konkrete Berechnung (Simulation). Dazu gehören die Identifikation system-inhärenter Parameter, die Stabilisierung und Steuerung der zugrundeliegenden nichtlinearen Prozesse sowie deren Optimierung mittels immer leistungsfähigeren mathematischen und informatischen Methoden.